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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones en $x_{0}=0$
b) $f(x)=\cos x$
b) $f(x)=\cos x$
Respuesta
Este ya va siendo más difícil de ver, por favor, a no desesperar. Acordate que te comentaba en el item anterior que este tipo de ejercicios no tienen nada que ver con el enfoque de los ejercicios de Taylor en el parcial. La idea nuevamente es encontrar un patrón entre las derivadas evaluadas en $x=0$, y después escribirlo de una manera adecuada (esto por lo general es lo más difícil de ver)
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En este caso queremos encontrar el polinomio de Taylor de orden $n$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=\cos x$.
Miremos las primeras derivadas:
$ f(x) = \cos x $
$ f'(x) = -\sin x $
$ f''(x) = -\cos x $
$ f'''(x) = \sin x $
$ f^{(4)}(x) = \cos x $
Y cuando las evaluamos en $x=0$
$ f(0) = \cos(0) = 1 $
$ f'(0) = -\sin(0) = 0 $
$ f''(0) = -\cos(0) = -1 $
$ f'''(0) = \sin(0) = 0 $
$ f^{(4)}(0) = \cos(0) = 1 $
Fijate que el patrón se repite cada 4 derivadas. Además, las derivadas de índice impar nos dan cero, así que no van a aportar términos al polinomio de Taylor. Si sólo queremos considerar las derivadas pares y que además vayan alternando entre $1$ y $-1$, una manera de escribirlo es esta:
$ p(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ... + (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} $
Donde el grado de este polinomio es $n=2k$
No, no es obvio, no es intuitivo, no pretendo que lo veas enseguida. Convencete que si vas reemplazando $k$ por cada natural, el próximo término va a ser $\frac{x^6}{6!}$ con $k = 3$, $\frac{x^8}{8!}$ con $k=8$ y así. Pero bueno, ya no es tan fácil de ver como en el anterior creo.